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8.已知函數(shù)f(x)=|x+2a2+1a|+|x-a|(a>0)
(Ⅰ)證明:f(x)≥23;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥5的解集.

分析 (Ⅰ)根據(jù)絕對值的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì)證明即可;(Ⅱ)將a的值代入,通過討論x的范圍求出不等式的解集即可.

解答 解:(Ⅰ)∵a>0,
∴f(x)=|x+2a2+1a|+|x-a|≥|x+2a+1a-x+a|=3a+1a≥23a1a=23,
當(dāng)且僅當(dāng)3a=1a即a=33時(shí)”=“成立;
(Ⅱ)a=1時(shí),f(x)=|x+3|+|x-1|≥5,
x≥1時(shí),x+3+x-1≥5,解得:x≥32
-3<x<1時(shí),x+3+1-x=4≥5,無解,
x≤-3時(shí),-x-3-x+1=-2x-2≥5,解得:x≤-72,
故不等式的解集是{x|x≥32或x≤-72}.

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查基本不等式的性質(zhì),是一道中檔題.

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(Ⅲ)當(dāng)x≥2時(shí),不等式f(x)≥2-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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