Question

已知a＞b＞c，且a+b+c=0，
（1）試判斷a，c及2a+c的符號；
（2）用分析法證明：

b2-ac

a

＜

3

．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）,不等式的基本性質

專題：不等式

分析：對第（1）問，由a＞b，a＞c，利用不等式的可加性可知a+a＞b+c，再在此兩邊同時加上a，即可得a的符號；同理可得c的符號；將2a+c寫成a+（a+c），利用a+c=-b及a＞b可得到2a+c的符號．
對第（2）問，將原式轉化為

b2-ac

＜

3

a，兩邊平方后，利用b=-（a+c）消去b，通過討論a與c的關系得到證明．

解答： 解：（1）∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴0=a+b+c＜3a，∴a＞0，
同理，由0=a+b+c＞3c，得c＜0．
又由a+c=-b，得2a+c=a+a+c=a-b＞0．
綜上知，a＞0，c＜0，2a+c＞0．
（2）證明：要證

b2-ac

a

＜

3

，只需證

b2-ac

＜

3

a，
由（1）知，a＞0，即證b²-ac＜3a²，
又b=-（a+c），只需證（a+c）²-ac＜3a²，
即證（a-c）（2a+c）＞0，
∵a-c＞0，2a+c＞0，∴（a-c）（2a+c）＞0成立，
故原不等式成立．

點評：1．本題考查了不等式的基本性質，及分析法證明不等式，關鍵在于充分挖掘題設條件，并利用第（1）問的結論解決第（2）問．
2．對分析法的理解：從求證不等式出發(fā)，分析使不等式成立的充分條件，進而轉化為判定此條件是否具備．其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．書寫模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B₁為真，從而有…，這只需證明B₂為真，從而又有…，…這只需證明A為真，而A顯然為真，故B必為真．
3．事實上，對第（1）問中a，c的符號判斷，也可以用反證法：假設a≤0，由a＞b＞c知，b＜0，c＜0，從而a+b+c＜0，這與a+b+c=0矛盾，故a＞0；假設c≥0，同理可得矛盾，可知c＜0．