Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PB，AD的中點，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，PA=PB=

3

．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：PA⊥BC：
（Ⅲ）求直線PD與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BC的中點M，連結(jié)ME，MF，由已知得ME∥PC，MF∥CD，ME∩MF=M，由此能證明面MEF∥平面PCD，從而得到EF∥平面PCD．
（Ⅱ）作PO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO，由已知得PO⊥底面ABCD，AO=BO，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，由此能證明PA⊥BC．
（Ⅲ）由PA⊥BC，得PA⊥AD，由AD=BC=2

2

，PA=

3

，AO=

2

，由V_D-PAB=V_P-ABD，由此能求出直線PD與平面PAB所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取BC的中點M，連結(jié)ME，MF，
∵E，F(xiàn)分別是PB，AD的中點，底面ABCD為平行四邊形，
∴ME∥PC，MF∥CD，ME∩MF=M，
又∵ME不包含于平面PCD，MF不包含于平面PCD，
∴ME∥平面PCD，MF∥平面PCD，
∴平面MEF∥平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）證明：作PO⊥BC，垂足為O，連結(jié)AO，
∵側(cè)面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PA=PB，∴AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，
∴BO⊥平面PAO，
∴PA⊥BC．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知PA⊥BC，
∵AD∥BC，故PA⊥AD，
由AD=BC=2

2

，PA=

3

，AO=

2

，
得PO=1，PD=

11

，
∴△PAB的面積S1=

1

2

AB×

SA2- 1 4 AB2

=

2

，
連結(jié)DB，得△DAB的面積S2=

1

2

AB×AD×sin135°=2，
設D到平面PAB的距離為h，
由V_D-PAB=V_P-ABD，得

1

3

h×S1=

1

3

PO×S2，
解得h=

2

，
設PD與平面PAB所成角為α，
則sinα=

h

PD

=

22

11

，
∴直線PD與平面PAB所成角的正弦值為

22

11

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．