Question

已知函數＝＋有如下性質：如果常數＞0，那么該函數在0，上是減函數，在，＋∞上是增函數．

（1）如果函數＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；

（2）研究函數＝＋（常數＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；

（3）對函數＝＋和＝＋（常數＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明）。

Answer 1

解：（1）函數y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6, ∴b=log₂9. ………………… 4分

     (2)  設0<x₁<x₂,y₂－y₁=.

 當<x₁<x₂時, y₂>y₁, 函數y=在[,+∞)上是增函數；當0<x₁<x₂<時y₂<y₁, 函數y=在(0,]上是減函數.又y=是偶函數，于是，該函數在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數；……10分

     (3) 可以把函數推廣為y=(常數a>0),其中n是正整數. ……………………………… 12分

        當n是奇數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,-

  在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數；………………………………14分

        當n是偶數時,函數y=在(0,]上是減函數,在[,+∞) 上是增函數,

在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數. ………………………………16分