Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-a）（a∈R），
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若存在x₀∈[1，2]時，使得不等式f（x₀）＜-1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=3時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求f（x）的極值點；
（Ⅱ）存在x₀∈[1，2]，使得不等式f（x₀）＜-1成立，轉(zhuǎn)化為f（x）在[1，2]上的最小值小于-1．通過對a的討論求出函數(shù)的最小值，然后實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意f（x）=x²（x-3），f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）…（1分）
由f'（x）=0，解得x=0或x=2；
當x＜0或x＞2時，f′（x）＞0，所以f（x）是單調(diào)遞增，
當0＜x＜2時，f′（x）＜0，所以f（x）單調(diào)遞減    …（3分）
所以x=0是極大值點，x=2是極小值  …（4分）
（Ⅱ） 存在x₀∈[1，2]時，不等式f（x₀）＜-1成立等價于f（x）在[1，2]上的最小值小于-1．
設(shè)此最小值為m，而f′(x)=3x2-2ax=3x(x-

2

3

a)x∈[1，2]
（1）a≤0時，f′（x）＞0，x∈[1，2]
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，所以m=f（1）=1-a…（6分）
（2）a＞0時，
當x＜0或x＞

2

3

a時，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間[

2

3

a，+∞)上是增函數(shù)
當0＜x＜

2

3

a時，f′（x）＜0，所以f（x）在區(qū)間[0，

2

3

a]上是減函數(shù)…（8分）
①當

2

3

a≥2，即a≥3時，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，
∴m=f（2）=8-4a    …（9分）
②當1≤

2

3

a＜2，即

3

2

≤a＜3時，f（x）在x∈[1，

2

3

a]上單調(diào)遞減，
在x∈[

2

3

a，2]上單調(diào)遞增，
∴m=f(

2

3

a)=-

4a3

27

…（10分）
③當0＜

2

3

a＜1即0＜a＜

3

2

時，f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴m=f（1）=1-a．…1（1分）
綜上所述，所求函數(shù)的最小值m=

1-a，(a≤ 3 2 ) - 4a3 27 ，( 3 2 ＜a＜3) 4(2-a)，(a≥3)

…（12分）
令m＜-1，解上述三個不等式得：a＞

3 3 2

2

…（14分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，存在性問題以及函數(shù)的最值極值點的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．