Question

求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-n，設b_n=

an

an+1

，記數(shù)列{b_n}的前n和為T_n，證明-

1

3

＜T_n-

n

2

＜0．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項公式得到數(shù)列{a_n}的通項公式，代入b_n=

an

an+1

后求出bn-

1

2

=

2n-1

2n+1-1

-

1

2

=

-1

2n+2-2

，然后利用放縮法證明數(shù)列不等式．

解答： 證明：由S_n=2a_n-n，得a₁=S₁=2a₁-1，即a₁=1；
當n≥2時，由S_n=2a_n-n，得S_n-1=2a_n-1-（n-1），
兩式作差得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，即a_n=2a_n-1+1．
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
則an+1=2•2n-1=2n，an=2n-1．
則b_n=

an

an+1

=

2n-1

2n+1-1

．
則bn-

1

2

=

2n-1

2n+1-1

-

1

2

=

-1

2n+2-2

．
∴Tn-

n

2

=-(

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

+

1

2n+2-2

)＜0，
∴T_n-

n

2

＜0；
∴

1

2n+2-2

=

1

2n-2+3•2n

＜

1

3•2n

．
則T_n-

n

2

＞-

1

3

(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n

)=-

1

3

+

1

3•2n

＞-

1

3

．
∴-

1

3

＜T_n-

n

2

＜0．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，屬難題．