已知函數(shù)f(x)=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖象都過點P(2,0),且在點P處有相同的切線.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b,c的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(x),求F(x)在區(qū)間[-3,0]上的最大值和最小值.
【答案】分析:(I)欲求實數(shù)a,b,c的值,只須求出切線斜率的值,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.最后利用斜率相等及都過點P列出等量關(guān)系,從而問題解決.
(II)欲求F(x)在區(qū)間[-3,0]上的最大值和最小值,利用導(dǎo)數(shù)來解決.研究閉區(qū)間上的最值問題,先求出函數(shù)的極值,比較極值和端點處的函數(shù)值的大小,最后確定出最值即可.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=6x2+a,g'(x)=2bx,..(2分)
根據(jù)題意有..(4分)
解得a=-8,b=4,c=-16..(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.
則F(x)=2x3+4x2-8x-16..(7分)F'(x)=6x2+8x-8(8分)
令F'(x)>0,即6x2+8x-8>0,解得x<-2或;
令F'(x)<0,即6x2+8x-8<0,解得-2<(11分)
當(dāng)x在[-3,0]內(nèi)變化時,F(xiàn)'(x)與F(x)的變化情況如下:
當(dāng)x=0時F(x)有最小值-16;當(dāng)x=-2時F(x)有最大值0(13分)
點評:本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數(shù)m的取值范圍是(  )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時,函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點;
(2)如果函數(shù)的一個零點在原點,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案
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