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若f(x)是定義在R上的函數,對任意的實數x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(0)=1,則f(2008)=


  1. A.
    2006
  2. B.
    2007
  3. C.
    2008
  4. D.
    2009
D
分析:先根據題意利用夾逼原理求出f(x+4)=f(x)+4,得到f(0),f(4),f(8),f(12)…是以f(0)=1為首項,以4為公差的等差數列,通過等差數列的通項公式求出f(2008)的值.
解答:∵對任意實數x∈R,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2成立
∴f(x)+4≤f(x+2)+2≤f(x+4)≤f(x)+4
即f(x)+4≤f(x+4)≤f(x)+4
∴f(x+4)=f(x)+4,
所以f(0),f(4),f(8),f(12)…是以f(0)=1為首項,以4為公差的等差數列,
所以f(2008)=f(0)+(503-1)×4=2009
故選D.
點評:此題考查函數與數列的關系,及等差數列的定義,同時考查了不等式的夾逼法則,是一道綜合題,有一定的難度.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

若f(x)是定義在R上的函數,對任意的實數x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=0,則f(2009)的值是(  )

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若f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=x(1-x),求函數f(x)的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若f(x)是定義在R上的函數,對任意的實數x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2且f(1)=4,則f(2009)的值是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

若f(x)是定義在R上的奇函數,且當x<0時,f(x)=
1
x+1
,則f(
1
2
)
=
-2
-2

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列四個命題:
①函數y=-
1x
在R上單調遞增;
②若函數y=x2+2ax+1在(-∞,-1]上單調遞減,則a≤1;
③若log0.7(2m)<log0.7(m-1),則m>-1;
④若f(x)是定義在R上的奇函數,則f(1-x)+f(x-1)=0.
其中正確的序號是
 

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