Question

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某項(xiàng)有獎(jiǎng)射擊活動(dòng)（射擊次數(shù)相同）．已知兩名運(yùn)動(dòng)員射擊的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，他們射擊成績的條形圖如下：

（I）求乙運(yùn)動(dòng)員擊中8環(huán)的概率，并求甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率．
（Ⅱ）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員現(xiàn)在要同時(shí)射擊4次，如果甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）3次時(shí)，可獲得總獎(jiǎng)金兩萬元；如果甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）4次時(shí)，可獲得總獎(jiǎng)金五萬元，其他結(jié)果不予獎(jiǎng)勵(lì)．求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員可獲得總獎(jiǎng)金數(shù)的期望值．（注：頻率可近似看作概率）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“甲運(yùn)動(dòng)員擊中i環(huán)”為事件A_i；“乙運(yùn)動(dòng)員擊中i環(huán)”為事件B_i（i=1，2，3，…，10），P（B₈）=1-P（B₇）-P（B₉）-P（B₁₀）．P（A₉）+P（A₁₀）=0.6，P（B₉）+P（B₁₀）=0.5，由此能求出甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率．
（Ⅱ）（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，4，P（ξ=3）=

C

3 4

0．33•0.7=0.0756，P（ξ=4）=0.3⁴=0.0081，由此能求出甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員可獲得總獎(jiǎng)金數(shù)的期望值．

解答： 解：（Ⅰ）記“甲運(yùn)動(dòng)員擊中i環(huán)”為事件A_i；
“乙運(yùn)動(dòng)員擊中i環(huán)”為事件B_i（i=1，2，3，…，10）
∴P（B₈）=1-P（B₇）-P（B₉）-P（B₁₀）
=1-0.2-0.1-0.4=0.3．（2分）
∵P（A₉）+P（A₁₀）=1-0.15-0.25=0.6，
P（B₉）+P（B₁₀）=0.1+0.4=0.5，
∴甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率：0.6×0.5=0.3．（6分）
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，4，
則ξ～B（4，0.3），
P（ξ=3）=

C

3 4

0．33•0.7=0.0756，
P（ξ=4）=0.3⁴=0.0081，
∴甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員可獲得總獎(jiǎng)金數(shù)的期望值：
0.0756×20000+0.0081×50000=1917（元）．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．