在三角形ABC中，點(diǎn)D分
BC
之比為1：2，點(diǎn)E分
BA
分之比為2：1，設(shè)
BC
=
a
，
BA
=
b
．
（1）設(shè)
EP
=t
EC
，試用
a
，
b
和實(shí)數(shù)t表示
BP
；
（2）試用
a
，
b
表示
BP
；
（3）在邊AC上有F點(diǎn)，使得
AC
=5
AF
，求證：B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．
考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用
專(zhuān)題：綜合題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用向量共線(xiàn)定理，即可用
a
，
b
和實(shí)數(shù)t表示
BP
；
（2）利用平面向量基本定理，即可用
a
，
b
表示
BP
；
（3）證明
BF
=
7
5
BP
，可得
BF
與
BP
共線(xiàn)，
BF
與
BP
有公共點(diǎn)B，即可證明B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．
解答： 解：（1）由題意
BE
=
2
3
BA
=
2
3
b
，∴
EC
=
EB
+
BC
=
a
-
2
3
b
，
∴
BP
=
BE
+
EP
=
BE
+t
EC
=
2
3
b
+t(
a
-
2
3
b
)=t
a
+
2
3
(1-t)
b
①
（2）設(shè)
DP
=k
DA
，由
BD
=
1
3
BC
=
1
3
a
，
DA
=
DB
+
BA
=
b
-
1
3
a
，
∴
BP
=
BD
+
DP
=
1
3
a
+k(
b
-
1
3
a
)=
1
3
(1-k)
a
+k
b
②
由①、②得，t
a
+
2
3
(1-t)
b
=
1
3
(1-k)
a
+k
b
，
∴
t=
1
3
(1-k)
2
3
(1-t)=k
，解得
t=
1
7
k=
4
7
，
∴
BP
=
1
7
a
+
4
7
b
；
（3）由
AC
=
a
-
b
，得
AF
=
1
5
AC
=
1
5
（
a
-
b
），
∴
BF
=
BA
+
AF
=
7
5
（
1
7
a
+
4
7
b
），
∴
BF
=
7
5
BP
，
∴
BF
與
BP
共線(xiàn)，
∵
BF
與
BP
有公共點(diǎn)B，
∴B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+m+2（a＞0），
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)互不相同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+a
ex
（x∈R）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=-8時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）試比較
1+12
e
+
1+22
e2
+
1+32
e3
+…+
1+n2
en
與
5n
4
e -
1
2
（其中n∈N*）的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
3
x3-2x2+1，
（Ⅰ）求f（x）單調(diào)區(qū)間 
（Ⅱ）求f（x）的極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別為AB、AD、CB、CD的中點(diǎn)且AC=BD，AC⊥BD，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2-2bx+b（a≠0）．
（1）若a∈{-2，-1，2}，b∈{0，1}，求滿(mǎn)足f（1）＞0的概率；
（2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求滿(mǎn)足f（1）＞0的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+bx-alnx．
（Ⅰ）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，求a，b．
（Ⅱ）對(duì)?b∈[-2，-1]，都有?x∈（1，e）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）若a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈（0，
1
2
）求證：f（x1）-f（x2）＞
3
4
-ln2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某項(xiàng)有獎(jiǎng)射擊活動(dòng)（射擊次數(shù)相同）．已知兩名運(yùn)動(dòng)員射擊的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，他們射擊成績(jī)的條形圖如下：

（I）求乙運(yùn)動(dòng)員擊中8環(huán)的概率，并求甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率．
（Ⅱ）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員現(xiàn)在要同時(shí)射擊4次，如果甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）3次時(shí)，可獲得總獎(jiǎng)金兩萬(wàn)元；如果甲、乙同時(shí)擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）4次時(shí)，可獲得總獎(jiǎng)金五萬(wàn)元，其他結(jié)果不予獎(jiǎng)勵(lì)．求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員可獲得總獎(jiǎng)金數(shù)的期望值．（注：頻率可近似看作概率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是
 
．

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