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 如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1) 求拋物線E的方程；

(2) 設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．


解：(1) 依題意，OB＝8，∠BOy＝30°.設B(x，y)，則x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因為點B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故拋物線E的方程為x2＝4y.

即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)

由于(*)式對滿足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，

所以解得y1＝1.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0，1)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：


已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.

(1) 若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；

(2) 若扇形的周長是一定值C(C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？

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科目：高中數學 來源： 題型：


已知橢圓＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點．

(1) 當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；

(2) 當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：


拋物線y2＝4x上一點M到焦點的距離為3，則點M的橫坐標x＝________．

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科目：高中數學 來源： 題型：


拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－2，該拋物線上的每個點到準線x＝－2的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l1：y＝x和l2：y＝－x 相切的圓，

(1) 求定點N的坐標；

(2) 是否存在一條直線l同時滿足下列條件：

① l分別與直線l1和l2交于A、B兩點，且AB中點為E(4，1)；

② l被圓N截得的弦長為2.

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科目：高中數學 來源： 題型：


如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________．

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科目：高中數學 來源： 題型：


方程＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________.

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科目：高中數學 來源： 題型：


如圖，已知橢圓＝1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.

(1) 若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；

(2) 若，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：


根據下列條件，求雙曲線方程．

(1) 與雙曲線＝1有共同的漸近線，且過點(－3，2)；

(2) 與雙曲線＝1有公共焦點，且過點(3，2)．

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