解:(1)由a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(3n+S
n)可得S
n=2a
n-3n,故a
n+1=S
n+1-S
n=2a
n+3
由待定系數(shù)法得a
n+1+3=2(a
n+3)又a
1+3=6≠0
∴數(shù)列{a
n+3}是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴a
n+3=6×2
n-1,
∴a
n=3(2
n-1).…(4分)
(2)由(1)可得b
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9404.png)
a
n=n2
n-n,
∴B
n=1×2
1+2×2
2+3×2
3+…+n×2
n-(1+2+3+…+n) ①
∴2B
n=1×2
2+2×2
3+3×2
4+…+n×2
n+1-2(1+2+3+…+n) ②
①-②得,-B
n=2+(2
2+2
3+…+2
n)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/145.png)
化簡可得B
n=2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534383.png)
.…(9分)
(3)假設(shè)數(shù)列{a
n}存在構(gòu)成等差數(shù)列的四項依次為:a
m、a
n、a
p、a
q(m<n<p<q)
則3(2
m-1)+3(2
q-1)=3(2
n-1)+3(2
p-1)∴2
m+2
q=2
n+2
p.
上式兩邊同除以2
m,則1+2
q-m=2
n-m+2
p-m∵m、n、p、q∈N*,且m<n<p<q,
∴上式左邊是奇數(shù),右邊是偶數(shù),相矛盾.
∴數(shù)列{a
n}不存在構(gòu)成等差數(shù)列的四項.
分析:(1)由已知可得S
n=2a
n-3n,進而得a
n+1=S
n+1-S
n=2a
n+3,故a
n+1+3=2(a
n+3),數(shù)列{a
n+3}是等比數(shù)列,易求結(jié)果;(2)由(1)可知b
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9404.png)
a
n=n2
n-n,由錯位相減法可解;(3)先假設(shè)存在,由題意可得2
m+2
q=2
n+2
p,即1+2
q-m=2
n-m+2
p-m,推出矛盾.
點評:本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用,涉及由和求通項公式,錯位相減法求和,屬中檔題.