【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）單調減區(qū)間，單調增區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域與導數(shù)，求得該函數(shù)的極值點，分析導數(shù)的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；

（2）當時，由恒成立，得出，構造函數(shù)，可得，然后對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，驗證是否恒成立，由此可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；

（2）若恒成立，即恒成立

時，，即，即，

設，

則，

①當時，，則當時，，函數(shù)在上單調遞增，

此時，即成立，所以，符合題意；

②當時，，則當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則，不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創(chuàng)新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質花苗．

（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質花苗數(shù)的分布列和數(shù)學期望；

（3）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質花苗與培育方法有關．

優(yōu)質花苗

非優(yōu)質花苗

合計

甲培育法

20

乙培育法

10

合計

附：下面的臨界值表僅供參考．

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程；

(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個交點為為橢圓上的一點,當面積最大時,求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為確定數(shù)學成績與玩手機之間的關系，從全校隨機抽樣調查了40名同學，其中40%的人玩手機．這40位同學的數(shù)學分數(shù)（百分制）的莖葉圖如圖①所示．數(shù)學成績不低于70分為良好，低于70分為一般．

（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“數(shù)學成績良好與不玩手機有關系”．

數(shù)學成績良好

數(shù)學成績一般

總計

不玩手機

玩手機

總計

40

（2）現(xiàn)將40名同學的數(shù)學成績分為如下5組：

，其頻率分布直方圖如圖②所示．計算這40名同學數(shù)學成績的平均數(shù)，由莖葉圖得到的真實值記為，由頻率分布直方圖得到的估計值記為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），求與的誤差值．

（3）從這40名同學數(shù)學成績高于90分的7人中隨機選取2人，求至少有一人玩手機的概率．

附：，

這40名同學的數(shù)學成績總和為2998分．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直四棱柱的棱長均相等，且BAD=60，M是側棱DD1的中點，N是棱C1D1上的點．

（1）求異面直線BD1和AM所成角的余弦值；

（2）若二面角的大小為，，試確定點N的位置．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，，分別為，的中點.

（1）求證：平面.

（2）在線段上是否存在一點使得，，，四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學醫(yī)療機構發(fā)現(xiàn)一次性醫(yī)用口罩起著一定的防護作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規(guī)瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關鍵，會出現(xiàn)耳繩缺失、錯位、錯熔、漏熔四種情況 .現(xiàn)在生產商大多采用全自動生產線生產口罩，某工廠現(xiàn)有甲（1臺本體機拖2臺耳帶機）和乙（1臺本體機拖3臺耳帶機）兩條生產線，已知甲生產線的日產量為7萬只，乙生產線的日產量為10萬只，生產商為了了解是否有必要更換原有的甲生產線，在設備生產狀況相同，不計其他影響的狀態(tài)下，分別統(tǒng)計了兩條生產線生產的1000只口罩的耳繩情況，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

耳繩情況

合格

缺失

錯位

錯熔

漏熔

甲生產線

950

9

19

11

11

乙生產線

900

19

35

25

21

（1）從乙生產線生產的1000只口罩中隨機抽取3只，將合格品的只數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）假設口罩的生產成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時可通過人工修復至合格來挽回損失。耳繩缺失、漏熔時人工修復費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復費為0.02元/只．

①以修復費的平均數(shù)作為判斷依據(jù)，判斷哪一條生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用較少？

②若經一次檢驗就合格的口罩，生產商以1元/只的批發(fā)價銷售給市場，經人工修復的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據(jù)分析該生產商是否有必要更換甲生產線？

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