Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=2n²-n，現從前項中抽掉某一項a_k，余下20項的平均數為40，則k=

16

．

Answer 1

分析：由已知中數列{a_n}的前n項和S_n=2n²-n，根據a_n=S_n-S_n-1可求出當n≥2時，數列{a_n}的通項a_n，驗證n=1，a₁=S₁=1后，即可得到數列{a_n}的通項a_n；再根據抽取的是第k項，由現從中抽取某一項后，余下的20項的平均值是20，可以構造關于k的方程，解方程即可求出k值．

解答：解：由S_n=2n²-n得a₁=S₁=1，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，顯然滿足n=1，
∴a_n=4n-3，
∴數列{a_n}是公差為4的遞增等差數列．
∵抽取的是第k項，則S₂₁-a_k=40（n-1），由于n=21，
故a_k=（2×21²-21）-40（21-1）=61．
由a_k=4k-3=61⇒k=16．
故抽取的是第16項．
故答案為：16．

點評：本題考查的知識點是等差數列的通項公式，其中a_n=S_n-S_n-1是由數列{a_n}的前n項和求數列{a_n}的通項a_n最常用的方法，要注意對n=1時，a₁=S₁的驗證．