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已知三點A，B，C的坐標分別為A（1，0），B（0，-1），C（cosα，sinα），其a∈（0，π）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，求角α的值．
（2）若
AC
•
BC
=
2
3
，求
2sin2α+sin2α
1+tanα
的值．
考點：平面向量數量積的運算,同角三角函數基本關系的運用
專題：三角函數的求值,平面向量及應用
分析：（1）利用向量的坐標運算、向量模的幾十個、同角三角函數基本關系式即可得出．
（2）利用數量積運算性質、同角三角函數基本關系式即可得出．
解答： 解：
AC
=（cosα-1，sinα），
BC
=（cosα，sinα+1）．
（1）∵|
AC
|=|
BC
|，
∴（cosα-1）2+sin2α=cos2α+（sinα+1）2，
∴-cosα=sinα⇒tanα=-1．
又0＜α＜π，∴α=
3π
4
．
（2）
2sin2α+sin2α
1+tanα
=
2sinα(sinα+cosα)
1+
sinα
cosα
=2sinαcosα．
∵
AC
•
BC
=
3
2
，
∴cosα（cosα-1）+sinα（sinα+1）=
3
2
，
化為sinα-cosα=
1
2
，
兩邊平方可得：2sinαcosα=
3
4
，
∴原式=
3
4
．
點評：本題考查了向量的坐標運算、向量模的幾十個、同角三角函數基本關系式、數量積運算性質，考查了計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線l是過點p（-1，2），直線的傾斜角為120°，圓方程ρ=2cos（θ+
π
3
）；
（1）求直線l的參數方程；
（2）設直線l與圓相交于M，N兩點，求|PM|•|PN|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

當{1，a，
b
a
}={0，a2，a+b}時，求a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求證：f（x）＞2g（
x-1
x+1
）；
（2）是否存在實數k，使方程
1
2
g(x2)-f(1+x2)=k有四個不同的實根？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為24，邊OA比OC大5．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．
（1）求OA、OC的長；
（2）求證：DF為⊙O′的切線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）的定義[-1，1]上的增函數，求不等式f（x-1）＜f（1-3x）的解集．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC的一條內角平分線CD的方程為2x+y-1=0，兩個頂點為A（1，2），B（-1，-1），求第三個頂點C的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=（2，1），
b
=（3，4）．求
a
+
b
，
a
-
b
，3
a
+4
b
的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax，g（x）=b•2x的圖象都經過點A（4，8），數列{an}滿足：a1=1，an=f（an-1）+g（n）（n≥2）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求證：數列{
an
2n-1
}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅲ）求證：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．

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