Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-2）x+4，當(dāng)x∈[-3，1]時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先把二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，根據(jù)對(duì)稱軸方程與固定區(qū)間的關(guān)系，分三種情況進(jìn)行討論①當(dāng)-3≤2-a≤1時(shí)②當(dāng)1＜2-a時(shí)③當(dāng)2-a＜-3時(shí)，然后根據(jù)恒成立問(wèn)題求的結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+2（a-2）x+4=[x+（a-2）]²-（a-2）²+4
函數(shù)為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸方程為：x=2-a
①當(dāng)-3≤2-a≤1時(shí)，即1≤a≤5 f(x)min=f(2-a)=-(a-2)2+4=-a²+4a
所以只需-a²+4a＞0恒成立即可，解得：0＜a＜4
實(shí)數(shù)a的取值范圍：1≤a＜4
②當(dāng)1＜2-a時(shí)，即a＜1
所以只需2a+1＞0恒成立即可，解得：a＞-

1

2

實(shí)數(shù)a的取值范圍：-

1

2

＜a＜1
③當(dāng)2-a＜-3時(shí)，即a＞5 f（x）_min=f（-3）=25-6a
所以只需25-6a＞0恒成立即可，解得：a＜

25

6

實(shí)數(shù)a的取值范圍：Φ
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍：-

1

2

＜a＜4
故答案為：-

1

2

＜a＜4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)換，對(duì)稱軸不固定區(qū)間固定的討論，對(duì)某一區(qū)間內(nèi)的恒成立問(wèn)題，一元二次不等式的解法．