Question

求與⊙C₁：x²+(y－1)²=1和⊙C₂：x²+(y+1)²=r²（r＞0）都外切的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)動(dòng)圓圓心M（x,y），半徑為R，則有以下關(guān)系： |MC1|－|MC2|=（R+1）－（R+r）=1－r |C1C2|=2 ①當(dāng)0＜r＜1時(shí)，⊙C1、C2相離，又有： |MC1|－|MC2|=1－r＜|C1C2|=2且|MC1|＞|MC2|,則點(diǎn)M的軌跡為雙曲線下支 設(shè)其方程為(y＜0)，得 a=,c=1, b2=c2－a2= ∴所求點(diǎn)的軌跡方程為： (y＜0) ②當(dāng)1＜r＜3時(shí)，⊙C1、⊙C2相交，有 |MC1|－|MC2|＜|C1C2|,且|MC1|＜|MC2| ∴點(diǎn)M的軌跡為雙曲線 的上支位于圓C1、C2之外的部分，且過圓C1、C2的交點(diǎn) 解 得 或 ∴所求點(diǎn)的軌跡方程為： (y≥) ③當(dāng)r=1時(shí)，⊙C1、C2外切，這時(shí)有|MC1|=|MC2| ∴所求點(diǎn)M的軌跡為線段C1C2的垂直平分線，即y=0 ④當(dāng)r=3時(shí)，⊙C1、⊙C2內(nèi)切，這時(shí)有： |MC2|－|MC1|=2=|C1C2| ∴所求點(diǎn)M的軌跡為一條射線 即x=0(y≥2) ⑤當(dāng)r＞3時(shí)，⊙C2內(nèi)含⊙C1 ∴此時(shí)點(diǎn)M無軌跡。