Question

函數(shù)f（x）=2cosx+x²，x∈(-

π

2

，

π

2

)（　　）

• A、是奇函數(shù)且在(0，

  π

  2

  )上為減函數(shù)
• B、是奇函數(shù)且在(0，

  π

  2

  )上為增函數(shù)
• C、是偶函數(shù)且在(0，

  π

  2

  )上為減函數(shù)
• D、是偶函數(shù)且在(0，

  π

  2

  )上為增函數(shù)

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義進行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=2cosx+x²，
∴f（-x）=2cosx+x²=f（x），
則f（x）是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，
函數(shù)導數(shù)為f′（x）=-2sinx+2x=2（x-sinx），
設g（x）=x-sinx，則g′（x）=1-cosx，
當x∈(0，

π

2

)時g′（x）＞0，則g（x）單調(diào)遞增，
則g（x）＞g（0）=0，
即x-sinx＞0，則f′（x）=2（x-sinx）＞0，
f（x）在x∈(0，

π

2

)時，單調(diào)遞增，
故選：D

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．