設拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上.設動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）試判斷圓與軸的位置關系；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

（1）   （2）見解析    （3）存在

解析試題分析：
（1）判斷拋物線的焦點位置，得到焦點坐標，利用中點坐標公式得到FA的中點坐標帶入拋物線即可求的P的值.
（2）直線與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關系，可以用k來替代m，得到P點的坐標，拋物線準線與直線的方程可得到Q點的坐標，利用中點坐標公式可得到PQ中點坐標，通過討論k的取值范圍得到中點到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關系.
（3）由(2)可以得到PQ的坐標(用k表示)，根據(jù)拋物線對稱性知點在軸上，設點坐標為，則M點需滿足，即向量內積為0，即可得到M點的坐標，M點的坐標如果為常數(shù)(不含k)，即存在這樣的定點，如若不然，則不存在.
試題解析：
解：（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標為，代入方程得，解得。                                2分
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準線方程為        3分
由得方程，
由直線與拋物線相切，得                 4分
且，從而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中點的坐標為
圓心到軸距離，
 
∵
                  8分
∵，
∴當時，，圓與軸相切；
當時，，圓與軸相交；        9分
(或，以線段為直徑圓的方程為:
令得 　
∴當時，，圓與軸相切；
當時，，圓與軸相交；        9分
（3）方法一：假設平面內存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，設點坐

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點,若A是PB的中點,求直線m的斜率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓+=1(a>b>0),點P（a,a）在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設A為橢圓的左頂點,O為坐標原點,若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

我們把離心率為e＝的雙曲線(a>0，b>0)稱為黃金雙曲線．如圖，是雙曲線的實軸頂點，是虛軸的頂點，是左右焦點，在雙曲線上且過右焦點，并且軸，給出以下幾個說法：

①雙曲線x2－＝1是黃金雙曲線；
②若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
③如圖，若∠F1B1A2＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
④如圖，若∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確的是(　　)

A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓過點P(1, )，其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e＝, M, N是直線x＝4上的兩個動點，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為和，且||=2，
點（1，）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設點P是圓x2＋y2＝4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP0，垂足為P0，且＝.
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)設直線l：y＝kx＋m(m≠0)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點A，B.
若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足＋＝t (O為坐標原點)，當|－|＜時，求實數(shù)t的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知△OFQ的面積為S，且·＝1.設||＝c(c≥2)，S＝c.若以O為中心，F(xiàn)為一個焦點的橢圓經過點Q，當||取最小值時，求橢圓的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案