Question

已知橢圓的左右焦點分別是，離心率，為橢圓上任一點，且的最大面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)斜率為的直線交橢圓于兩點，且以為直徑的圓恒過原點，若實數(shù)滿足條件，求的最大值.

Answer 1

【解】（Ⅰ）依題意得：，解得：

于是：橢圓的方程

（Ⅱ）設(shè)直線的方程由得：

設(shè)，則

由于以為直徑的圓恒過原點，于是，即

又

于是：，即

依題意有：，即

化簡得：

因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面開始求的最大值：

點到直線的距離，于是：

又因為，所以，

代入得

令

于是：

當(dāng)即，即時，取最大值，且最大值為

于是：的最大值為