Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若直線，且和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試問(wèn)直線（為拋物線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)）是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義可利用構(gòu)造關(guān)于的方程，從而求得拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)，，根據(jù)可求得，從而得到，假設(shè)方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用可求得，從而利用表示出點(diǎn)坐標(biāo)；分別在和兩種情況下得到直線方程，從而得到所過(guò)定點(diǎn).

（Ⅰ）由題意知：

由拋物線的定義知：，解得：

拋物線的方程為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

設(shè)，

由得：，故 直線的斜率為

直線和直線平行

可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得：

由題意知：得：

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，

可得直線的方程為：，

由，整理可得： 直線恒過(guò)點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，過(guò)點(diǎn)

直線恒過(guò)定點(diǎn)