將正整數(shù)按如圖的規(guī)律排列,把第一行數(shù)1,2,3,10,17,…記為數(shù)列{an}(n∈N+),第一數(shù)列1,4,9,16,25,…記為數(shù)列{bn}(n∈N+
(1)寫出數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,用數(shù)學歸納法證明:3(Tn+Tn)=2n3+4n(n∈N+);
(3)當n≥3時,證明:
5
4
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
bn
7
4
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)學歸納法
專題:證明題,綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析:(1)依題意,可知an-an-1=2n-1,從而可求得an=a1+1+3+…+(2n-3)=n2-2n+2;觀察知bn=n2;
(2)利用數(shù)學歸納法證明即可:當n=1時3(T1+S1)=2×13+4×1=6成立;假設n=k時等式成立,即3(Tk+Sk)=2k3+4k,去推證n=k+1時,3(Tk+1+Sk+1)=2(k+1)3+4(k+1)也成立即可;
(3)當n≥3時,bn=n2>0,易證
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
1
b1
+
1
b2
=
5
4
;利用放縮法易證
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
1
1
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
1
1
+
1
22
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)n
,再利用裂項法即可證得結論成立.
解答: (本小題滿分14分)
解:(1)由an-an-1=2n-1,得:an=a1+1+3+…+(2n-3)=n2-2n+2,…(3分)
bn=n2…(4分)
(2)①當n=1時,T1=S1=1,∴3(T1+S1)=6,又2n3+4n=6,∴n=1時等式成立;…(5分)
②假設n=k時等式成立,即3(Tk+Sk)=2k3+4k,
則n=k+1時,
3(Tk+1+Sk+1)=3(Tk+Sk)+3(bk+1+ak+1)=2k3+4k+3[(k+1)2+(k+1)2-2(k+1)+2]
=2k3+4k+6+6(k+1)2-6(k+1)
=2k(k2-1)+6(k+1)+6k(k+1)
=(2k2+4k+6)(k+1)
=[2(k+1)2+4](k+1)
=2(k+1)3+4(k+1),
∴n=k+1時等式也成立.…(8分)
根據(jù)①②,3(Tn+Sn)=2n3+4n(n∈N+);都成立.   …(9分)
(3)當n≥3時,bn=n2>0,∴
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
1
b1
+
1
b2
=
5
4
.…(11分)
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
1
1
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
1
1
+
1
22
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)n

=
5
4
+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=
5
4
+
1
2
-
1
n
7
4

綜上可知:綜上可知:
5
4
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
7
4
成立.…(14分)
點評:本題考查數(shù)列的求和,著重考查數(shù)列的通項公式的確定及數(shù)學歸納法的應用,考查放縮法與裂項法的綜合應用,考查推理、綜合運算及抽象思維、邏輯思維能力,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,已知A、B分別是離心率為e的橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右頂點和上頂點,|OA|=2,點M為線段AB的中點,直線OM(其中O為坐標原點)交橢圓于C、D兩點,△ABC與△ABD的面積分別記為S1、S2
(1)用e表示點C、D的坐標.
(2)求證:
S1
S2
為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,離心率為
2
2
.以原點為圓心,橢圓的短軸長為直徑的圓與直線x-y+
2
=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若斜率為k(k≠0)的直線l與x軸、橢圓C順次相交于點A、M、N(A點在橢圓右頂點的右側),且∠NF2F1=∠MF2A.求證:直線l過定點(2,0).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,AB為圓柱的底面直徑,過母線的截面ACEF是邊長為1的正方形,
(Ⅰ)求證:平面ABE⊥平面BCF;
(Ⅱ)若平面BEF與平面BCF所成的二面角為60°,求圓柱的底面直徑AB的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)解不等式
6
x2-3x-4
≤1
(2)關于x不等式(a-3)x2+2(a-3)x+4≤0解集為空集,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

計算:
(1)2
a
•(-6
3a
)÷(-3
6a5
)  
(2)log2.56.25+lg
1
100
+ln
e

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

解不等式方程:2x2-3x-5≥0.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=b•ax(其中a,b為常數(shù)且a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6),B(3,24).
(1)試確定f(x)=b•ax的解析式(即求a,b的值)
(2)若對于任意的x∈(-∞,1],(
1
a
x+(
1
b
x-m≥0恒成立,求m的取值范圍;
(3)若g(x)=
cxf(x)
2x(x2-1)
(c≠0,c為常數(shù)),試討論g(x)在區(qū)間(-1,1)上的單調性.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知sinx=2cosx,則sin2x+1=
 

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