【答案】
分析:(1)設(shè)出切點,求出切點處的導(dǎo)函數(shù)即切線的斜率,據(jù)點斜式寫出切線的方程,將切點代入,列出關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程,據(jù)題意此方程有兩個根,構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)函數(shù)求出兩個極值,令極值為0,求出a,b的關(guān)系.
(2)寫出不等式,分離出參數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)g(x),將問題轉(zhuǎn)化為a<g(x)的最大值;通過對g(x)求兩階導(dǎo)數(shù)求g(x)的最值.
解答:解:(1)f′(x)=3x
2-a,
過點A(1,0)作曲線C的切線,設(shè)切點(x
,f(x
)),則切線方程為:y=(3x
2-a)(x-1)
將(x
,f(x
))代入得:f(x
)=(3x
2-a)(x
-1)=x
3-ax
+b
即2x
3-3x
2+a-b=0(*) 由條件切線恰有兩條,方程(*)恰有兩根.
令u(x)=2x
3-3x
2+a-b,u′(x)=6x
2-6x=6x(x-1),顯然有兩個極值點x=0與x=1,
于是u(0)=0或u(1)=0
當(dāng)u(0)=0時,a=b;
當(dāng)u(1)=0時,a-b=1,此時f(x)=x
3-ax+a-1=(x-1)(x
2+x+1-a)經(jīng)過(1,0)與條件不符
所以a=b
(2)因為存在x
∈R
+,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222837800001396/SYS201311012228378000013021_DA/0.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222837800001396/SYS201311012228378000013021_DA/1.png)
所以存在x
∈R
+,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222837800001396/SYS201311012228378000013021_DA/2.png)
,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222837800001396/SYS201311012228378000013021_DA/3.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222837800001396/SYS201311012228378000013021_DA/4.png)
成立
設(shè)g(x)=x
2-e
x(x>0),問題轉(zhuǎn)化為a<g(x)的最大值
g′(x)=2x-e
x,
g′′(x)=2-e
x,令g′′(x)=0得x=ln2,
當(dāng)x∈(0,ln2)時g′′(x)>0此時g′(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(ln2,+∞)時g′′(x)<0,此時g′(x)為減函數(shù),
所以g′(x)的最大值為g′(ln2)=2ln2-e
ln2=2ln2-2=2(ln2-1)
∵ln2<1,∴g′(x)的最大值g′(ln2)<0,得g′(x)<0
所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)<g(0)=-1
因此a≤-1.
點評:求曲線的切線問題常利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率;解決不等式恒成立問題常采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.