Question

平面上兩點A(－1，0)，B(1，0)，在圓C：(x－3)²＋(y－4)²＝4上取一點P，求使|AP|²＋|BP|²取得最小值時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)．

　　∵A(－1，0)，B(1，0)，∴|AP|²＋|BP|²＝(x＋1)²＋y²＋(x－1)²＋y²＝29(x²＋y²)＋2＝2|OP|²＋2．

要使|AP|²＋|BP|²取得最小值，需使|OP|²取得最�。�

　　又點P為圓(x－3)²＋(y－4)²＝4上的點，∴(|OP|)_min＝|OC|－r(r為半徑)．

　　由(x－3)²＋(y－4)²＝4知C(3，4)，r＝2．

　　∴|OC|－r＝－2＝5－2＝3，即(|OP|)_min＝3，

　　∴(|AP|²＋|BP|²)_min＝2×3²＋2＝20．此時OC：y＝x．

　　由(舍)

　　∴點P的坐標(biāo)為()．

　　深化升華：設(shè)出P點的坐標(biāo)P(x，y)，使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點到原點的距離問題，利用數(shù)形結(jié)合求最值．

提示：

應(yīng)用平面的兩點間的距離公式將|AP|²＋|BP|²轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的二次式，再求出其最值．