Question

平面上兩點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)，在圓C：(x－3)²＋(y－4)²=4上取一點(diǎn)P，求使|AP|²＋|BP|²取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

解法一:∵點(diǎn)P在圓C：(x－3)²＋(y－4)²=4上,

∴可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3＋2cosθ，4＋2sinθ).

又A(－1，0)、B(1，0),

∴|AP|²＋|BP|²=(3＋2cosθ＋1)²＋(4＋2sinθ)²＋(3＋2cosθ－1)²＋(4＋2sinθ)²=60＋32sinθ＋24cosθ=60＋40sin(θ＋)(其中tan=).

當(dāng)sin(θ＋)=－1時(shí),(|AP|²＋|BP|²)_min=20,

此時(shí)60＋24cosθ＋32sinθ=20，即3cosθ＋4sinθ=－5.

由得

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).

解法二:設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y).

∵A(－1，0)、B(1，0),

∴|AP|²＋|BP|²=(x＋1)²＋y²＋(x－1)²＋y²=2(x²＋y²)＋2=2|OP|²＋2.

要使|AP|²＋|BP|²取得最小值，需使|OP|²最小.

又點(diǎn)P為圓C：(x－3)²＋(y－4)²=4上的點(diǎn)，∴(|OP|)_min=|OC|－r(r為半徑).

由(x－3)²＋(y－4)²=4,知C(3，4)，r=2.

∴|OC|－r=－2=5－2=3，即(|OP|)_min=3.

∴(|AP|²＋|BP|²)_min=2×3²＋2=20.此時(shí)，OC：y=x.

由得或(舍).

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，).

點(diǎn)評(píng):解法一是利用了圓的參數(shù)方程的形式設(shè)出了點(diǎn)P的坐標(biāo)，使所求的式子轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)法求最值；解法二設(shè)出的是P點(diǎn)的普通坐標(biāo)(x，y)，使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離問題，利用數(shù)形結(jié)合法求最值.