Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³+x²-2ax-1，f′（-1）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對于任意的x∈[-2，0），都有f（x）≤bx+3，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=ax²+2x-2a，且f′（-1）=0，得a=-2，從而f′（x）=-2x²+2x+4=-2（x+1）（x-2），得（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，2）上單調(diào)遞增，
（Ⅱ） 因為對于任意的x∈[-2，0），都有f（x）≤bx+3，即bx+3≥-

2

3

x³+x²+4x-1，得b≤-

2

3

x²+x+4-

4

x

，設(shè)h（x）=-

2

3

x²+x+4-

4

x

，從而h′（x）=-

4

3

x+1+

4

x2

，
又x∈[-2，）），得h′（x）＞0，從而h（x）在[-2，0）上單調(diào)遞增，進而b≤

4

3

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax²+2x-2a，且f′（-1）=0，
∴a=-2，
∴f′（x）=-2x²+2x+4=-2（x+1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=2，
隨著x的變化，f′（x）和f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

即f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，2）上單調(diào)遞增，
（Ⅱ） 因為對于任意的x∈[-2，0），都有f（x）≤bx+3，
即bx+3≥-

2

3

x³+x²+4x-1，
∴b≤-

2

3

x²+x+4-

4

x

，
設(shè)h（x）=-

2

3

x²+x+4-

4

x

，
∴h′（x）=-

4

3

x+1+

4

x2

，
又∵x∈[-2，）），
∴-

4

3

x＞0，

4

x2

＞0，
∴h′（x）＞0，
∴h（x）在[-2，0）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（-2）=

4

3

，
∴b≤

4

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，參數(shù)的取值，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．