(本小題滿分12分)如圖所示,已知中,
AB=2OB=4,D為AB的中點,若
是
繞直線AO旋轉而成的,記二面角B—AO—C的大小為
(I)若
,求證:平面
平面AOB;(II)若
時,求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。
解法一:(I)如圖所示,以O為原點,在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸,
OB,OA所在的直線分別為y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz,
則A(0,0,2),B(0,2,0),D(0,1,
),C(2sinθ,2cosθ,0).
設=(x,y,z)為平面COD的一個法向量,
由,得
,……3分
取z=sinθ,則=(
cosθ,-
sinθ,sinθ)=(0,-
,1)
因為平面AOB的一個法向量為=(1,0,0),得
·
=0,
因此平面COD⊥平面AOB. ……6分
(II)設二面角C-OD-B的大小為α,由(1)得
當θ=時,cosα=0;當θ∈(
,
]時,tanθ≤-
,
cosα==
=-
,……10分
故-≤cosα<0.因此cosα的最小值為-
,
綜上,二面角C-OD-B的余弦值的最小值為-. ……12分
解法二:(I)因為AO⊥OB,二面角B-AO-C為, ……3分
所以OB⊥OC,又OC⊥OA,所以OC⊥平面AOB
所以平面AOB⊥平面CO D. ……6分
(II)當θ=時,二面角C-OD-B的余弦值為0;……7分
當θ∈(,
]時,過B作OD的垂線,垂足為E,
過C作OB的垂線,垂足為F,過F作OD的垂線,垂足為G,連結CG,
則∠CGF的補角為二面角C-OD-B的平面角.
在Rt△OCF中,CF=2sinθ,OF=-2cosθ,
在Rt△CGF中,GF=OFsin=-
cosθ,CG=
,
所以cos∠CGF==-
.因為θ∈(
,
],tanθ≤-
,故0<cos∠CGF=
≤
.所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值為-
. ……12分
【解析】略
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經(jīng)濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的、
、
.現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調查和預測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比,其關系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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