Question

（本小題滿分12分）已知：設(shè) .

（1）求的值；

（2）的展開式中的哪幾項(xiàng)是有理項(xiàng)（回答項(xiàng)數(shù)即可）；

（3）求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng).

Answer 1

（1）；（2）有理項(xiàng)分別是第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)；（3）系數(shù)最大的項(xiàng)為：，系數(shù)最小的項(xiàng)為：.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，得到關(guān)于的方程，解出的值；（2）當(dāng)時(shí)，得到多項(xiàng)式的通項(xiàng)公式：，要為有理項(xiàng)，須使為整數(shù)，可以找到有理項(xiàng)有哪些；

（3）多項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，二項(xiàng)式系數(shù)中，最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，結(jié)合通項(xiàng)公式，知第五項(xiàng)系數(shù)最大，第四項(xiàng)系數(shù)最小.

試題解析：（1）由已知得： 2分

解得: 4分

（2）當(dāng)時(shí)，展開式的通項(xiàng)為

要為有理項(xiàng)則為整數(shù)，此時(shí)可以取到， 7分

所以有理項(xiàng)分別是第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng). 8分

（3）展開式的通項(xiàng)為

的展開式中共有8項(xiàng),其中第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,而第五項(xiàng)的系數(shù)為正且等于第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),故第五項(xiàng)的系數(shù)最大,即系數(shù)最大項(xiàng)為= 10分

第四項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)且等于第四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù),故第四項(xiàng)的系數(shù)最小,即系數(shù)最小項(xiàng)為. 12分

考點(diǎn)：1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；2.有理項(xiàng)；3.二項(xiàng)式系數(shù).