Question

已知函數(shù)f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（　�。�

• A、f（n）=n²cos（nπ）
• B、-100
• C、a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=
• D、10200

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題可以通過(guò)已知條件f（n）=n²cos（nπ），逐項(xiàng)求出f（1），f（2），f（3），f（4），…從而發(fā)現(xiàn)f（n）值的規(guī)律，再利用a_n=f（n）+f（n+1），逐項(xiàng)求出a₁，a₂，a₃，a₄，…從而發(fā)現(xiàn)a_n值的規(guī)律，進(jìn)而對(duì)a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀進(jìn)行組合求和，得到本題的解．

解答： 解：∵f（n）=n²cos（nπ），
∴f（1）=1²cosπ=-1²，
f（2）=2²×cos2π=2²，
f（3）=3²×cos3π=-3²，
f（4）=4²×cos4π=4²，
…
∴f（n）=（-1）ⁿn²．
∴a1=f(1)+f(2)=-12+22=3，
a2=f(2)+f(3)=22-32=-5，
a3=f(3)+f(4)=-32+42=7，
a4=f(4)+f(5)=42-52=-9，
…
a100=f(100)+f(101)=1002-1012=-101．
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₉₉+a₁₀₀
=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₉₉+a₁₀₀）
=50×（-2）
=-100．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了演繹推理和歸納推理思想，本題思維量不大，規(guī)律容易發(fā)現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題．