Question

對(duì)于四面體ABCD，以下命題中，真命題的序號(hào)為

 

（填上所有真命題的序號(hào)）
①若AB=AC，BD=CD，E為BC中點(diǎn)，則平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，則BD⊥AC；
③若所有棱長(zhǎng)都相等，則該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2：1；
④若以A為端點(diǎn)的三條棱所在直線兩兩垂直，則A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心；
⑤分別作兩組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，則所得的兩條直線異面．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,異面直線的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①直接由面面垂直的判定證明平面AED⊥平面ABC；
②通過(guò)四面體的兩組相對(duì)棱互相垂直，借助于底面三角形的垂心證明第三對(duì)相對(duì)棱垂直；
③由二級(jí)結(jié)論正四面體外接球與內(nèi)切球與正四面體高的關(guān)系得四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1，從而說(shuō)明③錯(cuò)誤；
④由已知條件證明三角形BCD每一個(gè)頂點(diǎn)與A的射影的連線垂直于對(duì)邊，說(shuō)明A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心；
⑤由三角形的中位線平行于底邊，說(shuō)明命題⑤錯(cuò)誤．

解答： 解：如圖，
對(duì)于①，∵AB=AC，BD=CD，E為BC中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE∩ED=E，
∴BC⊥面AED，
∴面AED⊥平面ABC．
∴命題①正確；
對(duì)于②，過(guò)A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
連結(jié)BO并延長(zhǎng)交CD于F，連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于E，
由線面垂直的判定可以證明BF⊥CD，DE⊥BC，從而可知O為底面三角形的垂心，
連結(jié)CO并延長(zhǎng)交BD于G，則CG⊥BD，再由線面垂直的判斷得到BD⊥面ACG，從而得到BD⊥AC．
∴命題②正確；
對(duì)于③，若所有棱長(zhǎng)都相等，四面體為正四面體，該四面體的外接球半徑是四面體高的四分之三，
內(nèi)切球的半徑是四面體高的四分之一，∴該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1．
∴命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若AB⊥AC⊥AD，過(guò)A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD=A，得AB⊥面ACD，則AB⊥CD，進(jìn)一步由線面垂直的判定證得CD⊥面ABO，
則BO⊥CD，同理可證CO⊥BD，說(shuō)明O為△BCD的垂心．命題④正確；
對(duì)于⑤，如圖，
∵E、F、G、H分別為BC、AC、BD、AD的中點(diǎn)，
∴HF∥DC，GE∥DC，
∴EFHG為平面四邊形．
∴命題⑤錯(cuò)誤．
∴真命題的序號(hào)是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力，是中檔題．