Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結論正確的是

 

（填序號）
①存在x₀∈R，使得f（x₀）=0
②函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形
③若x₀是函數(shù)y=f（x）的極小值點，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上是減函數(shù)
④若f′（x₀）=0，則x₀是函數(shù)y=f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,命題的真假判斷與應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)的運算法則得出f′（x），分△＞0與△≤0討論，列出表格，即可得出．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax+b．
當△=4a²-12b＞0時，f′（x）=0有兩解，不妨設為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：
x₂是函數(shù)f（x）的極小值點，但是f（x）在區(qū)間（-∞，x₂）不具有單調性，故③不正確．
∵f（-

2a

3

-x）+f（x）
=（-

2a

3

-x）³+a（-

2a

3

-x）²+b（-

2a

3

-x）+c+x³+ax²+bx+c
=

4a3

9

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=（-

a

3

）³+a（-

a

3

）²+b（-

a

3

）+c=

2a3

9

-

ab

3

+c，
∵f(-

2a

3

-x)+f(x)=2f(-

a

3

)，
∴點P（-

a

3

，f（-

a

3

））為對稱中心，故②正確；
∵x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，
函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故①正確．
當△≤0時，f′(x)=3(x+

a

3

)≥0，故f（x）在R上單調遞增，
此時不存在極值點，故③不正確；
∵x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，
函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故①正確．
∵f′（x₀）=0是x₀為函數(shù)y=f（x）的極值點的必要不充分條件，
∴④不正確．
故答案為：①②．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．