Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，的角平分線(xiàn)與軸垂直，求的面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程．

Answer 1

(Ⅰ)拋物線(xiàn)的方程為；(Ⅱ)所求直線(xiàn)的方程為．

解析試題分析：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)定義可求出；（Ⅱ）由的角平分線(xiàn)與軸垂直，可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)的方程，利用設(shè)而不求的方法來(lái)求的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的方程，利用玄長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得的面積，由面積最大時(shí)來(lái)確定，從而得直線(xiàn)的方程．
試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b7/7/1fsdi3.png" style="vertical-align:middle;" />，由拋物線(xiàn)的定義得，又，所以，
因此，解得，從而拋物線(xiàn)的方程為 ；
（Ⅱ）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/eb/0/xmsng2.png" style="vertical-align:middle;" />的角平分線(xiàn)與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則，由題意，把代入拋物線(xiàn)方程得，該方程的解為4、，由韋達(dá)定理得，即，同理，所以，
設(shè)，把代入拋物線(xiàn)方程得，由題意，且，從而，又，所以，點(diǎn)到的距離，因此，設(shè)，
則，，由知，所以在上為增函數(shù)，因此，即面積的最大值為．的面積取最大值時(shí)，所求直線(xiàn)的方程為．
考點(diǎn)：1、求拋物線(xiàn)方程，2、直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的位置關(guān)系，3、利用導(dǎo)數(shù)求最值．