解:(1)∵△ABC中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/50309.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22456.png)
設∠CAP=α,α∈(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
),則∠BAP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
-α,
又∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196380.png)
,|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4409.png)
|=2,
∴|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4409.png)
|•|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/553.png)
|cosα=2|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4409.png)
|•|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
|cos(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
-α)=2,可得|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/553.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363.png)
,|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/82809.png)
,
因此,|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196381.png)
|
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534144.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534145.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534146.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10108.png)
+10=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/81530.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/534147.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17835.png)
≥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/20240.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d6096492ed4.png)
故|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196381.png)
|的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4579.png)
(2)滿足條件(1)的點P不能在△ABC的邊BC上,理由如下:
以C為坐標原點,分別以AC、AB為x、y軸正方向建立坐標系,
由(1)中|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/553.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363.png)
,|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/82809.png)
,
可得直線AB的方程的方程為xcosα+2ysinα=1
又∵|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4409.png)
|=2,∠CAP=α,
故P點坐標為(2cosα,2sinα),
將P代入AB的方程得2cos
2α+4sin
2α=2+2sin
2α>1,矛盾
故P點不在△ABC的邊BC上
分析:(1)設∠CAP=α,可得∠BAP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
-α,結合
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196380.png)
且|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4409.png)
|=2,可得|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/553.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363.png)
,|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/82809.png)
.利用向量模的性質,可得|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196381.png)
|
2的表達式,再利用基本不等式即可算出|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/196381.png)
|的最小值.
(2)由(1)中|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/553.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363.png)
且|
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/82809.png)
,可求出直線AB的方程含有參數(shù)α的形式,再將P點坐標代入直線方程加以驗證,即可得到結論是否成立.
點評:本題給出向量關系式,求動點的軌跡方程并討論模的最小值和點P位置等問題.著重考查了向量的模、基本不等式和點與直線的關系等知識點,屬于難題.