Question

（本題滿分12分）已知橢圓C：（a>b>0）的上頂點為A，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2,且橢圓C過點P（，），以AP為直徑的圓恰好過右焦點F2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，試問：在軸上是否存在兩定點，使其到直線l的距離之積為1？若存在，請求出兩定點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在兩個定點（1,0）,（?1,0）,使其到直線l 的距離之積為定值1

【解析】

試題分析：【解析】
（1）因為橢圓過點P（，），所以,解得 ,

又以AP為直徑的圓恰好過右焦點 ．所以A?P,即?=?1, =c（4?3c）． 6分

而 ,所以?2c+1=0,解得=1,

故橢圓C的方程是． 4分

（2）①當直線l斜率存在時，設直線l方程為y=kx+p，代入橢圓方程得

因為直線l與橢圓C有只有一個公共點，所以

，

即 7分

設在x軸上存在兩點（s,0）,（t,0）,使其到直線l的距離之積為1,則

,

即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或 （**）．

由（*）恒成立,得，解得,或,

而（**）不恒成立． 10分

②當直線l斜率不存在時，直線方程為x=?時，

定點 （－1，0）、 （1，0）到直線l的距離之積．

綜上,存在兩個定點（1,0）,（?1,0）,使其到直線l 的距離之積為定值1 12分

考點：本題考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系