【題目】如圖對稱軸為坐標軸，焦點均在軸上的兩橢圓，的離心率相同且均為，橢圓過點且其上頂點恰為橢圓的上焦點．是橢圓上異于，的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線與橢圓交于，兩點．

（1）求橢圓，的標準方程．

（2）證明：．

（3）是否為定值？若為定值．則求出該定值；否則，說明理由．

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根據(jù)離心率以及橢圓過點，可得的方程，再根據(jù)的上頂點橢圓的上焦點，即可得的方程；

（2）直線與橢圓方程分別聯(lián)立，分別利用弦長公式，計算即可得證.

（3）先確定直線的斜率與直線的斜率關系，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式計算與，化簡整理即可得結(jié)果.

（1）解：因為橢圓，的焦點在軸上，離心率為，所以設橢圓的方程為．

由橢圓過點，得，

解得，所以橢圓的方程為，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：由（1）得，設點，，直線的斜率為，則直線的方程為，

聯(lián)立得，

由根與系數(shù)的關系，得．

設點，聯(lián)立得，

由根與系數(shù)的關系，得．

所以，所以，所以，

所以．

（3）解：由（1）得，由（2）得，設直線的斜率為，則直線的方程為．

所以．

由，得，

聯(lián)立得，

，

．

聯(lián)立得，

，

．

由，得，

所以，為定值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，設是橢圓的左焦點，直線：與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且，過點作斜率為直線與橢圓相交于不同的兩點 ，

（1）當時，線段的中點為，過作交軸于點，求；

（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市有兩家共享單車公司，在市場上分別投放了黃、藍兩種顏色的單車，已知黃、藍兩種顏色的單車的投放比例為2：1.監(jiān)管部門為了了解兩種顏色的單車的質(zhì)量，決定從市場中隨機抽取5輛單車進行體驗，若每輛單車被抽取的可能性相同.

（1）求抽取的5輛單車中有2輛是藍色顏色單車的概率；

（2）在騎行體驗過程中，發(fā)現(xiàn)藍色單車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從市場中隨機地抽取一輛送技術(shù)部門作進一步抽樣檢測，并規(guī)定若抽到的是藍色單車，則抽樣結(jié)束，若抽取的是黃色單車，則將其放回市場中，并繼續(xù)從市場中隨機地抽取下一輛單車，并規(guī)定抽樣的次數(shù)最多不超過（）次.在抽樣結(jié)束時，已取到的黃色單車以表示，求的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，函數(shù)和的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．

（1）求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）令，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（常數(shù)）．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）研究函數(shù)的極值點；

（2）當時，若對任意的，恒有，求的取值范圍；

（3）證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設D是圓O：x2+y2＝16上的任意一點，m是過點D且與x軸垂直的直線，E是直線m與x軸的交點，點Q在直線m上，且滿足2|EQ||ED|．當點D在圓O上運動時，記點Q的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程．

（2）已知點P（2，3），過F（2，0）的直線l交曲線C于A，B兩點，交直線x＝8于點M．判定直線PA，PM，PB的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上任一點， 為其右焦點，點滿足.

①證明： 為定值；

②設直線與橢圓有兩個不同的交點，與軸交于點.若成等差數(shù)列，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；

（2）函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，，證明：.

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