Question

【題目】如圖，設是橢圓的左焦點，直線：與軸交于點，為橢圓的長軸，已知，且，過點作斜率為直線與橢圓相交于不同的兩點 ，

（1）當時，線段的中點為，過作交軸于點，求；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用橢圓的性質(zhì)得出橢圓方程，根據(jù)題意得出直線的方程，直線的方程，進而得出，由距離公式得出；

（2）設直線的方程為，當時，，當時，設，直線的方程為，聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式，得出，利用三角形面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論.

（1）∵, ∴，又∵，即

∴∴,

∴橢圓的標準方程為

點的坐標為，點的坐標為

直線的方程為

即

聯(lián)立可得，設，

則，

所以，

直線的斜率為，直線的方程為

令，解得即

所以

（2）直線的方程為，當時，三角形不存在

當時，設，直線的方程為

聯(lián)立可得，設

，解得或

，

點到直線的距離

當且僅當，即時（此時適合于△＞0的條件）取等號,

所以當時，直線為時，面積取得最大值為.