Question

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．
現(xiàn)設(shè)n=4，分別以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序時(shí)被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫出X的所有可能值組成的集合S；
（Ⅱ）假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄等可能地為1，2，3，4的各種排列，求S中每個(gè)元素出現(xiàn)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）X的可能取值集合為{0、2、4、6、8}，在1、2、3、4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個(gè)，a₂，a₄中的奇數(shù)個(gè)數(shù)等于a₁，a₃中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，得到|1-a₁|+|3-a₃|與|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，得到結(jié)論．
（Ⅱ）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的一共24種排列，計(jì)算每種排列下的X的值，S中每個(gè)元素出現(xiàn)的概率．

解答： 解：由條件可知，本題的試驗(yàn)是：將1，2，3，4重新排序．
試驗(yàn)結(jié)果是：1，2，3，4的一個(gè)排列．
從而樣本空間為1，2，3，4的各種排列所組成的集合．
枚舉出1，2，3，4的排列共24種，并計(jì)算X值，得表如下：

	1	2	3	4	X
排列1	1	2	3	4	0
排列2	1	2	4	3	2
排列3	1	3	2	4	2
排列4	1	3	4	2	4
排列5	1	4	2	3	4
排列6	1	4	3	2	4
排列7	2	1	3	4	2
排列8	2	1	4	3	4
排列9	2	3	1	4	4
排列10	2	3	4	1	6
排列11	2	4	1	3	6
排列12	2	4	3	1	6
排列13	3	1	2	4	4
排列14	3	1	4	2	6
排列15	3	2	1	4	4
排列16	3	2	4	1	6
排列17	3	4	1	2	8
排列18	3	4	2	1	8
排列19	4	1	2	3	6
排列20	4	1	3	2	6
排列21	4	2	1	3	6
排列22	4	2	3	1	6
排列23	4	3	1	2	8
排列24	4	3	2	1	8

由上表易得：
（Ⅰ）X的可能值集合{0，2，4，6，8}；
（Ⅱ）在等可能的前提下，根據(jù)古典概型的概率公式，有P(X=0)=

1

24

，P(X=2)=

3

24

，P(X=4)=

7

24

，P(X=6)=

9

24

，P(X=8)=

4

24

．

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型概率計(jì)算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計(jì)算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵．