Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

an-1

1+an-1

（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n
（2）設(shè)b_n={a_na_n+1}，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
18或者換成數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

3

（a_n-1）．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；  （2）求a_n及S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式求得a₂、a₃、a₄、a₅并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（2）直接利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和；
（1）在數(shù)列遞推式中取n=1求得首項(xiàng)，取n=n-1得另一遞推式，作差后可證得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）直接由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得答案．

解答： 解：（1）由a₁=1，a_n=

an-1

1+an-1

，得
a2=

1

2

，a3=

1

3

，a4=

1

4

，a5=

1

5

．
猜測an=

1

n

；
（2）bn=anan+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
或（1）證明：由S_n=

1

3

（a_n-1），得
a1=S1=

1

3

(a1-1)，即a1=-

1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

3

(an-1-1)，
兩式作差得：an=

1

3

an-

1

3

an-1，
即an=-

1

2

an-1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以-

1

2

為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（2）an=-

1

2

•(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
Sn=

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=-

1

3

[1-(-

1

2

)n]．

點(diǎn)評：本題考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的項(xiàng)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，是中檔題．