Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

2-an

2n

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．是否存在整數(shù)m，使T_n＜m對n∈N^*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式法求數(shù)列的通項公式，兩式作差可得{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）b_n=

2-an

2n

=

3-2n

2n

，利用錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．可得T_n≤T₁=

1

2

，故m＞

1

2

即可，又又m∈Z，即可得出m_min=1．

解答： 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴4s₁=(a1+1)2⇒a₁=1，
當n≥2時，4s_n-1=(an-1+1)2，
∴4s_n-4s_n-1=(an+1)2-(an-1+1)2，
即4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵{a_n}是正項數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1．
（（2）b_n=

2-an

2n

=

3-2n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

-1

22

+

-3

23

+…+

3-2n

2n

1

2

T_n=

1

22

+

-1

23

+…+

5-2n

2n

+

3-2n

2n+1

，
兩式相減，得：

1

2

T_n=

1

2

-2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

3-2n

2n+1

=

1

2

-2•

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3-2n

2n+1

=

2n+1

2n+1

-

1

2

∴T_n=

2n+1

2n

-1．
∵

2n+1 2n

2n+3 2n+1

=

4n+2

2n+3

＞1，
∴數(shù)列{T_n}是遞減數(shù)列，
∴T_n≤T₁=

1

2

由題意，只需m＞

1

2

，又m∈Z
∴m_min=1
故，存在整數(shù)m符合題意，其最小值為1．

點評：本題屬于數(shù)列與不等式的綜合性問題，考查公式法求數(shù)列通項公式及數(shù)列錯位相減法求和等知識，考查學生恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化思想的運用及運算求解能力，屬于難題．