Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）=lnx，若在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（

  2

  e2

  ，

  1

  e

  ）
• B、（

  2

  e2

  ，

  1

  2e

  ）
• C、（0，

  1

  e

  ）
• D、（0，

  1

  2e

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：可以根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），求出x在（0，1]上的解析式，已知在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，對g（x）進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答： 解：在區(qū)間[1，e²）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
①a＞0若x∈[1，e²）時，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）為減函數(shù)，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）為增函數(shù)，
此時g（x）必須在[1，e²）上有兩個交點，
∴

g( 1 a )＞0 g(e2)＜0 g(1)≤0

，解得，

2

e2

＜a＜

1

e

①
設(shè)0＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，
∴f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

，此時g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-

2+ax

x

，
若g′（x）＞0，可得x＜-

2

a

＜0，g（x）為增函數(shù)
若g′（x）＜0，可得x＞-

2

a

，g（x）為減函數(shù)，
在（0，1）上有一個交點，則

lim x→0 g(x)＞0 g(1)＜0

，解得a＞0②
綜上①②可得

2

e2

＜a＜

1

e

，
②若a＜0，對于x∈[1，3]時，g（x）=lnx-ax＞0，沒有零點，不滿足在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
③a=0，顯然只有一解，舍去
綜上：

2

e2

＜a＜

1

e

，
故選：A．

點評：此題充分利用了分類討論的思想，是一道綜合題，難度比較大，需要排除a＜0時的情況，注意解方程的計算量比較大，注意學(xué)會如何分類討論．