Question

函數(shù)f（x）=x²（e^x-1+ax+b），已知x=-2和x=1為y=f′（x）的零點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）設(shè)g（x）=

2

3

x³-x²，證明：對(duì)?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得方程組，從而求出a，b的值；
（2）先求出f（x）-g（x）=x²（e^x-1-1），令h（x）=e^x-1-x，通過求導(dǎo)得出h（x）≥h（1），也就是恒有h（x）≥0，從而證明結(jié)論．

解答： 解：（1）f'（x）=2e^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），由x=-2和x=1為y=f'（x）的零點(diǎn)知

x	（-∞，0）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	0	↗

f′(-2)=0 f′(1)=0

即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

，解得：

a=- 1 3 b=-1

．
（2）證明：由（1）得f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，故f(x)-g(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2-

2

3

x3+x2=x2(ex-1-x)．
令h（x）=e^x-1-x，則h'（x）=e^x-1-1．
令h'（x）=0，得x=1h'（x）、h（x）隨x的變化情況如上表，
由上表可知，當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得極小值，也是最小值；
即當(dāng)x∈（-∞，+∞）時(shí)，h（x）≥h（1），也就是恒有h（x）≥0．
又x²≥0，故對(duì)任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）-g（x）≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明，本題屬于中檔題．