在棱長為1的正方體ABCDA¢B¢C¢D¢中,AC¢為對角線,M、N分別為BB¢B¢C¢的中點,P為線段MN中點.

1)求DP和平面ABCD所成的角的正切值;

2)求四面體P-AC¢D¢的體積:

3)求DPAC¢所成角.

 

答案:
解析:

(1)過PPH^BC于點H,連結(jié)DH,∵ 面BC¢上面AC,則PH^面ABCD,

DP和面ABCD所成角即為ÐHDP

在正方形BCC¢B¢,M、N分別為BB¢、B¢C¢中點,PMN中點,

B¢C¢=1,則PH=,BH=CH=,DH=

在RtDPHD中,tanÐHDP=

(2)連BC¢和B¢C交于Q,因為BCC¢B¢為正方形,則PQ^BC¢則PQ=

SDAC¢D¢=  ∴ VP-AC¢D¢=  (體積單位)

(3)延長BCE,延長B¢C¢至F,使CE=C¢F=1,連結(jié)DF,則DFAC¢,過P

PH¢^B¢C¢于點H¢

∴ 異面直線AC¢和DP所成角轉(zhuǎn)化為求ÐPDF,連結(jié)PF

DP=  DF=

在RtDPFH¢,中,PF=

在DDPF中,cosÐPDF=

∴ ÐPDF=

或解:建立如圖空間直角坐標系

A(0,0,1),C¢(1,1,0),則=(1,1,-1),

D(0,1,1),P  則

設(shè)夾角為q

cosq=  q=

 


練習(xí)冊系列答案
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11、如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動,給出以下四個命題:
①異面直線C1P和CB1所成的角為定值;
②二面角P-BC1-D的大小為定值;
③三棱錐D-BPC1的體積為定值;
④直線CP與直線ABC1D1所成的角為定值.
其中真命題的個數(shù)為( �。�

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在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AB與CD1之間的距離是( �。�

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(1)求截面BEFD與底面ABCD所成銳二面角的大�。�
(2)求四棱錐A'-BEFD的體積.

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(1)求DP和平面ABCD所成的角的正切;
(2)求四面體P-AC′D′的體積.

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同步練習(xí)冊答案
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