在棱長為1的正方體ABCD—A¢B¢C¢D¢中,AC¢為對角線,M、N分別為BB¢、B¢C¢的中點,P為線段MN中點.
(1)求DP和平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求四面體P-AC¢D¢的體積:
(3)求DP和AC¢所成角.
(1)過P作PH^BC于點H,連結(jié)DH,∵ 面BC¢上面AC,則PH^面ABCD, ∴ DP和面ABCD所成角即為ÐHDP. 在正方形BCC¢B¢,M、N分別為BB¢、B¢C¢中點,P為MN中點, 又B¢C¢=1,則PH= 在RtDPHD中,tanÐHDP= (2)連BC¢和B¢C交于Q,因為BCC¢B¢為正方形,則PQ^BC¢則PQ= 而SDAC¢D¢= (3)延長BC至E,延長B¢C¢至F,使CE=C¢F=1,連結(jié)DF,則DF∥AC¢,過P作 PH¢^B¢C¢于點H¢ ∴ 異面直線AC¢和DP所成角轉(zhuǎn)化為求ÐPDF,連結(jié)PF DP= 在RtDPFH¢,中,PF= 在DDPF中,cosÐPDF= ∴ ÐPDF= 或解:建立如圖空間直角坐標系 A(0,0,1),C¢(1,1,0),則 D(0,1,1),P 設(shè) cosq=
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