Question

以下命題：
①存在x，使sinx•cosx=

3

4

；
②y=lg（2cosx-1）的定義域為（2kπ-

π

3

，2kπ+

π

3

）且k∈Z；
③因為y=sinx的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，故y=sinx在第一象限內(nèi)遞增；
④若α，β為第三象限角，且sinα＞sinβ，則必有tanα＞tanβ；
⑤函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

4

）在同一周期內(nèi)的最高點和最低點間距離為

16+π2

，則ω=2；
其中正確的為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①運用二倍角的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性，即可判斷①；
②由對數(shù)的真數(shù)大于0，及余弦函數(shù)的圖象，即可判斷②；
③比如x₁=

π

3

，x₂=

7π

3

，則sinx₁=sinx₂=

3

2

，故y=sinx在第一象限內(nèi)不遞增，可判斷③；
④可取α=

5π

4

，β=

4π

3

，滿足sinα＞sinβ，但tanα＜tanβ，可判斷④；
⑤根據(jù)相鄰的最高點和最低點的距離為半個周期，及兩點間的距離公式和周期公式，即可判斷⑤．

解答： 解：①由于sinx•cosx=

3

4

，即sin2x=

3

2

＞1，故①錯；
②2cosx-1＞0，cosx＞

1

2

，則由余弦函數(shù)的圖象得，2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈Z，故②對；
③比如x₁=

π

3

，x₂=

7π

3

，則sinx₁=sinx₂=

3

2

，故y=sinx在第一象限內(nèi)遞增，不能這樣說，故③錯；
④可取α=

5π

4

，β=

4π

3

，滿足sinα＞sinβ，但tanα＜tanβ，故④錯；
⑤由兩點間的距離得，

( T 2 )2+42

=

16+π2

，解得T=2π，ω=

2π

T

=1．故⑤錯．
故答案為：②

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性、有界性，考查三角公式及運用，屬于中檔題．