Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)，有，若f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，0]
分析：先由單調(diào)性定義判斷和證明f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，從而求得f（x）的最大值，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式恒成立問(wèn)題求解．
解答：任取-1≤x₁＜x₂≤1，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=•（x₁-x₂）
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知＞0，又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．
∵f（1）=1，∴對(duì)x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，
即要t²-2at+1≥1成立，故t²-2at≥0成立．
∵t∈[0，1]，
∴t≠0時(shí)2a≤t，即a≤，解得a∈（-∞，0]．
t=0時(shí)，a∈R，
綜上，a∈（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用及函數(shù)最值、恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化化歸思想．