Question

（本小題共14分）已知定義在上的函數(shù)

（1）求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于（3，4）；

（2）若，且對(duì)任意的1恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于（3，4）；（2）由不等式恒成立分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可.

試題解析：【解析】
（1）由，可得，

故在上單調(diào)遞增，

而，，

所以存在唯一的零點(diǎn).（7分）

（2）由（1）存在唯一的零點(diǎn)顯然滿足：，且當(dāng)時(shí)，

；當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于.

設(shè)，

則，故與同號(hào)，

因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故.

由題意有，又，而，故的最大值是3.（14分）

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程，不等式恒成立.