Question

若在一個(gè)三棱錐S-ABC中，SA、SB、SC兩兩垂直，則我們稱這樣的三棱錐為直角三棱錐（也有稱三直三棱錐）．在下列關(guān)于直角三棱錐S-ABC的相關(guān)說(shuō)法中：
①若SA=a，SB=b，SC=c，頂點(diǎn)S到底面ABC的距離為h，則

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

；
②若側(cè)面SAB、SAC、SBC的面積分別為S₁、S₂、S₃，底面ABC的面積為S₀，則S₀²=S₁²+S₂²+S₃²
③設(shè)側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABC所成的角分別為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ
④設(shè)側(cè)面SAB、SAC、SBC與底面ABC所成的二面角分別為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=2；
其中正確的說(shuō)法有

 

（填番號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，推導(dǎo)證明出①、②是否正確；
利用特殊值代入法，求出③、④中的值，從而判定它們是否正確．

解答： 解：如圖所示，
對(duì)于①，∵SA、SB、SC兩兩互相垂直，∴SA⊥平面SBC．
設(shè)SD在平面SBC內(nèi)部，且SD⊥BC，
由已知有：SD=

bc

b2+c2

，h=SH=

a•SD

a2+SD2

，
∴h²=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2

，
即

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

，∴①正確；
對(duì)于②，設(shè)SA=a，SB=b，SC=c，
∵H為△ABC的垂心，∴AD⊥BC，
又∵SA、SB、SC兩兩垂直，
∴S₁=

1

2

ab，S₂=

1

2

bc，S₃=

1

2

ac，S₀=

1

2

BC•AD，
∴S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（ a² b²+b² c²+a² c²）=

1

4

a²（b²+c²）+

1

4

b² c²…①；
又∵在Rt△BSC中，SD⊥BC，
∴SB²•SC²=b² c²=SD²•BC²=SD²•（b²+c²）…②；
∴②代入①得：S₁²+S₂²+S₃²=

1

4

（b²+c²）•AD²=

1

4

BC²•AD²=S02，∴②正確；
對(duì)于③，各側(cè)棱與底面所成的角α、β、γ，用特殊值代入法，
設(shè)三棱錐是一個(gè)正方體的一部分，且三條棱長(zhǎng)分別SA=SB=SC=1，由此求出
cos²α+cos²β+cos²γ=

AH2

SA2

+

BH2

SB2

+

CH2

SC2

=3×(

2

3

×

3 × 2

2

)2=2，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，各側(cè)面與底面所成的角α、β、γ，用特殊值代入法，
設(shè)三棱錐是一個(gè)正方體的一部分，且三條棱長(zhǎng)分別SA=SB=SC=1，由此求出
cos²α+cos²β+cos²γ=

DH2

SD2

+

EH2

SE2

+

FH2

SF2

=3×(

1 3 × 3 × 2 2

2 2

)2=1，∴④錯(cuò)誤．
以上正確的說(shuō)法是①②．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形進(jìn)行解答，適當(dāng)?shù)乩�用特殊值，可以化�?jiǎn)解答過(guò)程，是難題．