Question

三棱錐P-ABC中,PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)。

（1）證明：平面GFE//平面PCB；

（2）求二面角B-AP-C的正切值；

（3）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值。

Answer 1

解答：（1）因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)，所以EF//BC，GF//CP。因?yàn)镋F，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。

（2）過(guò)點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H，連接HB。因?yàn)锽C⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依條件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。

（3）如圖，設(shè)PB的中點(diǎn)為K，連接KC，AK，因?yàn)棣�PCB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因?yàn)锳K∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AK，垂足為M。因?yàn)槠矫鍭KC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，連接PM，則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角。容易求出PF=，F(xiàn)M=，所以sin∠MPF==.即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是