已知定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),及定點(diǎn)F(1,0),定直線l:x=4,不在x軸上的動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離是它到定直線l的距離的數(shù)學(xué)公式倍,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E,點(diǎn)C是軌跡E上的任一點(diǎn),直線AC與BC分別交直線l與點(diǎn)P,Q.
(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)試判斷以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)F,并說明理由.

解:(1)由橢圓的第二定義可知:
點(diǎn)M的軌跡E是以定點(diǎn)F(1,0)為焦點(diǎn),離心率e=,直線l:x=4為準(zhǔn)線的橢圓(除去與x軸相交的兩點(diǎn)).
∴c=1,,∴a=2,b2=22-12=3,
∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓E,其方程為(除去(±2,0)).
(2)以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)F.下面給出證明:
如圖所示:設(shè)C(x0,y0),(x0≠±2),則直線AC的方程為:
令x=4,則yP=,∴,∴=;
直線BC的方程為:,令x=4,則yQ=,∴,∴kQF==
∴kPF•kQF==,
∵點(diǎn)C(x0,y0)在橢圓上,∴,∴=-1,
∴kPF•kQF=-1.
因此以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)F.
分析:(1)由橢圓的第二定義即可知道點(diǎn)M的軌跡E為橢圓;
(2)設(shè)出橢圓上的點(diǎn)C的坐標(biāo),進(jìn)而寫出直線AC、BC的方程,分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),只要判斷kPF•kQF=-1是否成立即可.
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的定義、直線垂直與斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定點(diǎn)A(-2,0),動點(diǎn)B是圓F:(x-2)2+y2=64(F為圓心)上一點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于P;
(1)求動點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)直線y=
3
x+1與曲線E交于M,N兩點(diǎn),試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點(diǎn)C,使
OM
+
ON
OC
共線(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知定點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)Q是圓x2+y2=1上的動點(diǎn),∠AOQ的平分線交AQ于M,當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動時(shí),求動點(diǎn)M的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知定點(diǎn)A(2,0)及拋物線y2=x,點(diǎn)B在該拋物線上,若動點(diǎn)P使得
AP
+2
BP
=
0
,求動點(diǎn)P的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知定點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0),M是動點(diǎn),且直線MA與直線MB的斜率之積為-
1
4
,設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程;
(II )過定點(diǎn)T(-1,0)的動直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),是否存在定點(diǎn)S(s,0),使得
SP
SQ
為定值,若存在求出s的值;若不存在請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•石家莊一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知定點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0),M是動點(diǎn),且直線MA與直線MB的斜率之積為-
1
4
,設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程;
(II)過定點(diǎn)T(-1,0)的動直線l與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),若S(-
17
8
,0),證明:
SP
SQ
為定值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案