Question

已知定點A（-2，0），動點B是圓F：（x-2）²+y²=64（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P；
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）直線y=

3

x+1與曲線E交于M，N兩點，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點C，使

OM

+

ON

與

OC

共線（O為坐標(biāo)原點）？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義判斷點P的軌跡 是以A、F 為焦點的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．
（2）先假設(shè)存在一點C并設(shè)出坐標(biāo)，以及設(shè)出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線得出x0=

x1+x2

m

，y0=

y1+y 2

m

，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得出x₁+x₂，y₁+y₂，進而得出x0=-

8 3

15m

，

y

0

=

2

5m

，求出m的值，即可求出C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
因此點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓．（4分）
設(shè)所求橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴2a=8，a=4，a²-b²=c²=2²=4∴b²=12
∴點P的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1．（6分）
（2）假設(shè)存在滿足題意的點C（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

OM

+

ON

=m

OC

（m∈R，且m≠0），
則（x₁+x₂，y₁+y₂）=m（x₀，y₀）．
∴x₀=

x1+x2

m

，y₀=

y1+y2

m

．
由

y= 3 x+1 x2 16 + y2 12 =1

，得15x2+8

3

x-44=0．（8分）
∴x1+x2=-

8 3

15

，y1+y2=

3

(x1+x2)+2=

2

5

．∴x0=-

8 3

15m

，

y

0

=

2

5m

．（10分）
又

x 2 0

16

+

y 2 0

12

=1，解得m2=

1

15

．∴m=±

15

15

．
又∵x₀＜0，y₀＞0
∴m=

15

15

所以存在滿足題意的點C（-

8 5

5

，

2 15

5

）（14分）

點評：本題考查了橢圓的定義以及直線與圓錐曲線問題，（1）問的關(guān)鍵是靈活掌握橢圓的定義．屬于難題．