Question

已知拋物線y²=4x的弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則|AB|的最大值為（　�。�

• A、1
• B、3
• C、6
• D、12

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|表示出|AB|，把弦長(zhǎng)用引入的參數(shù)表示出來(lái)，再由中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，研究出參數(shù)k，b的關(guān)系，使得弦長(zhǎng)公式中只有一個(gè)參數(shù)，再根據(jù)其形式判斷即可得出最值．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，
令直線AB的方程為y=kx+b，代入拋物線y²=4x得k²x²+2（kb-2）x+b²=0，
故有x₁+x₂=

2(2-kb)

k2

，x₁x₂=

b2

k2

，
故有4=

2(2-kb)

k2

，解得b=

2-2k2

k

，即x₁x₂=

4-8k2+4k4

k4

，
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

16-4× 4-8k2+4k4 k4

，
=4

1+k2

2k2-1 k4

=4

2+[(- 1 k2 - 1 2 )2+ 1 4 ]

≤4×

9 4

=6．
故|AB|的最大值為6，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是用弦垂公式表示出弦長(zhǎng)，再結(jié)合題設(shè)中所給的條件將弦長(zhǎng)表示成某個(gè)量的函數(shù)，利用求最值的方法求出最值．本題比較抽象，難點(diǎn)在二把弦長(zhǎng)用參數(shù)表示出來(lái)之間，需要做大量的運(yùn)算，做題時(shí)要有耐心，平時(shí)要注意提高符號(hào)運(yùn)算能力．